此問(wèn)題中，其實(shí)絕對(duì)光滑不太合適，一般可以考慮原子級(jí)別的光滑就已經(jīng)可以使用（或可以看做沒(méi)有接觸角滯后現(xiàn)象）。為了讓解析式簡(jiǎn)便，此題轉(zhuǎn)化為：

如果將體積為V的液體水滴落到原子級(jí)別光滑的光滑固體表面上，設(shè)固體表面對(duì)水的接觸角為θ，那么液滴穩(wěn)定后，液滴與固體之間的接觸面積S有多大？

下面我僅僅使用參數(shù)V和θ，以及水的物性常數(shù)找出S的簡(jiǎn)單解析式。

首先，此題必須分為兩種情形。第一種，是液體V很小時(shí)，此時(shí)表面張力占主導(dǎo)地位。此解法宮非前輩已經(jīng)給出，但是其解析式不夠簡(jiǎn)化。因此我進(jìn)一步加以簡(jiǎn)化。當(dāng)表面張力占主導(dǎo)時(shí)，液滴成完美的球缺狀，如圖1所示。

圖1液體體積很小時(shí)，毛細(xì)作用力占主導(dǎo)的情形，液滴呈球形

此時(shí)根據(jù)球的體積公式，以及簡(jiǎn)單的三角函數(shù)變換，就可以得出S與V和θ的關(guān)系，具體推導(dǎo)過(guò)程如圖2所示。

圖2接觸面積S的推導(dǎo)過(guò)程

此時(shí)可以看出，S與V的2/3次方是正比例關(guān)系。對(duì)于自然界任何光滑的表面，接觸角處于0到122°的范圍內(nèi)，可以繪出S與θ的關(guān)系，如圖3所示。

圖3接觸面積隨著接觸角的變化關(guān)系

上圖是接觸角從5°到120°范圍內(nèi)的接觸面積的變化關(guān)系，基本上涵蓋了自然界中的大多數(shù)物質(zhì)的光滑固體表面。

然后再是第二種情形，就是液體體積很大，此時(shí)表面張力很弱，重力占主導(dǎo)地位的場(chǎng)景。此時(shí)，液滴在光滑固體表面的呈現(xiàn)出扁平狀。如圖4所示。

圖4液體體積很大的情形

有意思的是，已經(jīng)有前人對(duì)這種情形做過(guò)詳細(xì)的受力分析。得出只要接觸角一定，此時(shí)無(wú)論加多少水，液體的厚度e都不會(huì)增加，只會(huì)增加鋪展的面積。其厚度e的表達(dá)式為：

式中，γ為表面張力，p為密度，g為重力加速度。

由于此時(shí)，表面張力影響很小，液膜可以看成均勻的厚度，所以滿足

V=Se

從而可以推出：

圖5液體接觸面積的推導(dǎo)公式。

至于具體的推導(dǎo)e的過(guò)程，可以見如下分析：

參考文獻(xiàn)：Capillarity and Wetting Phenomena書籍。